Online-Rechner zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen mit Schritt-für-Schritt-Erklärung
Mit unserem Rechner können Sie lineare und quadratische Gleichungen online mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Erklärungen lösen. Geben Sie einfach die Gleichung oder die Koeffizienten ein und der Rechner findet sofort die Lösung. Ideal für Studenten, Schüler und alle, die Mathematik studieren.
2x + 5 = 15
Ответ: x = 5
2x = 15 - 5 = 10, x = 10/2 = 5
3x - 7 = 14
Ответ: x = 7
3x = 14 + 7 = 21, x = 21/3 = 7
5x + 3 = 3x + 8
Ответ: x = 3
5x - 3x = 8 - 2, 2, 2x = 6, x = 3
x² + 5x + 6 = 0
D = 25 - 24 = 1
x₁ = -2, x₂ = -3
D = 5² - 4×1×6 = 1 > 0, zwei Wurzeln
x² - 4x + 4 = 0
D = 16 - 16 = 0
x = 2
D = (-4)² - 4×1×4 = 0, eine Wurzel
x² + 2x + 5 = 0
D = 4 - 20 = -16
Keine echten Wurzeln
D = 2² - 4×1×5 = -16 < 0, komplexe Wurzeln
Die lineare Gleichung lautet ax + b = 0, wobei a und b bekannte Zahlen und x eine unbekannte Größe sind. Zum Lösen müssen Sie x ausdrücken.
ax + b = 0 → x = -b/a
Beispiel: 2x + 5 = 15 → 2x = 10 → x = 5
Die quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Gelöst durch die Diskriminante: D = b² - 4ac. Die Anzahl der Wurzeln hängt vom Diskriminanzwert ab.
x = (-b ± √D) / (2a)
D = b² - 4ac
Zwei Wurzeln
D > 0
Eine Wurzel
D = 0
Keine echten Wurzeln
D < 0
Die Wurzeln einer Gleichung sind die Werte einer Variablen, bei denen die Gleichung in eine echte numerische Gleichheit übergeht. Abhängig von der Art der Gleichung kann es eine unterschiedliche Anzahl von Wurzeln geben.
Unser Online-Gleichungsrechner bietet schnelle und genaue Lösungen mit detaillierten Erklärungen zu jedem Schritt.
Lösen Sie sofort alle linearen und quadratischen Gleichungen
Detaillierte Schritt-für-Schritt-Erklärung der Lösung
Bestimmung der Anzahl der Wurzeln und der Diskriminante
Unterstützt 4 Sprachen: Russisch, Englisch, Spanisch, Deutsch
Zwei Eingabemodi: Text und Koeffizienten
Völlig kostenlos ohne Registrierung
Responsive Design für alle Geräte
Geben Sie die Gleichung im Format „2x + 5 = 15“ oder „x² + 2x + 1 = 0“ ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Lösen“. Der Rechner erkennt automatisch die Art der Gleichung und liefert eine Lösung mit schrittweiser Erklärung.
Berechnen Sie für die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 zunächst die Diskriminante D = b² - 4ac. Wenn D > 0, hat die Gleichung zwei Wurzeln, wenn D = 0 – eine Wurzel, wenn D < 0 – gibt es keine echten Wurzeln.
Eine lineare Gleichung hat eine Lösung (wenn a ≠ 0). Eine quadratische Gleichung kann je nach Diskriminante 0, 1 oder 2 Lösungen haben. Der Rechner ermittelt automatisch die Anzahl der Lösungen.
Lineare Gleichungen der Form ax + b = 0 werden durch Verschieben von Termen gelöst: ax = -b, dann x = -b/a. Zum Beispiel: 3x + 6 = 0 → 3x = -6 → x = -2.
Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt die Anzahl der Wurzeln der quadratischen Gleichung. Für D > 0 – zwei Wurzeln, D = 0 – eine Wurzel, D < 0 – keine echten Wurzeln.
Nach dem Satz von Vieta: x₁ + x₂ = -b/a und x₁ × x₂ = c/a. Dies funktioniert für reduzierte quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0.
Setzen Sie den gefundenen Wert in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn die linke Seite gleich der rechten ist, ist die Lösung richtig. Zum Beispiel für x = 5 in der Gleichung 2x + 5 = 15: 2×5 + 5 = 15 ✓
Wenn Sie einen Widerspruch erhalten (z. B. 0 = 5), hat die Gleichung keine Lösungen. Wenn wir die Identität (0 = 0) erhalten, hat die Gleichung unendlich viele Lösungen.
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner, um Brüche zu eliminieren. Dann lösen Sie die Gleichung als Normalgleichung.
Verwenden Sie Substitutions-, Additions- oder grafische Methoden. Unser Rechner zeigt Schritt-für-Schritt-Lösungen für jede Gleichung separat an.
Die Wurzel einer Gleichung ist der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine echte numerische Gleichung wird. Beispielsweise ist die Wurzel der Gleichung 2x + 3 = 7 x = 2.
Erweitern Sie das Modul per Definition: |x| = x für x ≥ 0 und |x| = -x für x < 0. Betrachten Sie beide Fälle getrennt.
Potenzieren Sie beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel loszuwerden. Überprüfen Sie unbedingt die resultierenden Wurzeln, indem Sie sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Reduzieren Sie auf die gleiche Basis oder verwenden Sie Logarithmen. Zum Beispiel: 2ˣ = 8 → 2ˣ = 2³ → x = 3.
Nutzen Sie die Eigenschaften von Logarithmen und die Definition: logₐ(b) = c bedeutet aᶜ = b. Überprüfen Sie den Umfang.
Verwenden Sie grundlegende trigonometrische Identitäten und Reduktionsformeln. Betrachten Sie die Periodizität trigonometrischer Funktionen.
Äquivalente Gleichungen haben die gleichen Wurzeln. Sie werden durch äquivalente Transformationen voneinander erhalten: Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null.
Betrachten Sie verschiedene Fälle von Parameterwerten. Lösen Sie die Gleichung für jeden Fall separat und geben Sie die Bedingungen für den Parameter an.
Versuchen Sie es mit Faktorisieren, indem Sie eine Variablenänderung oder spezielle Methoden verwenden (z. B. Horners Schema für Polynome).
Drücken Sie eine Variable durch eine andere aus oder lösen Sie sie als Gleichungssystem. Grafisch handelt es sich um eine Gerade oder Kurve auf der Koordinatenebene.
VA ist der Bereich zulässiger Werte einer Variablen, für die der Ausdruck sinnvoll ist. Beispielsweise benötigen Sie für √x x ≥ 0, für 1/x benötigen Sie x ≠ 0.
Erhöhen Sie beide Seiten mit der entsprechenden Macht, um den Radikalen loszuwerden. Überprüfen Sie unbedingt die resultierenden Wurzeln.
Finden Sie die Nullstellen der Funktion, teilen Sie die Zahlenlinie in Intervalle auf und bestimmen Sie das Vorzeichen der Funktion in jedem Intervall.
Zeichnen Sie die linke und rechte Seite der Gleichung grafisch auf. Die Schnittpunkte der Graphen ergeben die Wurzeln der Gleichung.
Fremdwurzeln treten auf, wenn eine Gleichung gerade potenziert wird oder wenn mit einem Ausdruck mit einer Variablen multipliziert wird. Sie müssen durch Überprüfung aussortiert werden.
Geben Sie anstelle eines komplexen Ausdrucks eine neue Variable ein. Lösen Sie die Gleichung nach der neuen Variablen und kehren Sie dann zur ursprünglichen Variablen zurück.
Drücken Sie eine Variable durch eine andere aus einer Gleichung aus und setzen Sie sie in die zweite Gleichung ein. Erhalten Sie eine Gleichung mit einer Variablen.
Addiere oder subtrahiere Gleichungen, bis eine der Variablen verschwindet. Erhalten Sie eine Gleichung mit einer Variablen.
Geben Sie die Gleichung im Textformat oder mithilfe von Koeffizienten in unseren Online-Rechner ein. Erhalten Sie eine sofortige Lösung mit Schritt-für-Schritt-Erklärung.
Lernen Sie die wichtigsten Gleichungstypen kennen: linear, quadratisch, rational, irrational. Üben Sie mit unserem Rechner mit detaillierten Erläuterungen zu jedem Lösungsschritt.
Der Online-Rechner zum Lösen von Gleichungen bei Calc1.ru unterstützt Russisch, Englisch, Spanisch und Deutsch. Lösen Sie kostenlos lineare und quadratische Gleichungen mit detaillierten Erklärungen!